¿Qué significa asociatividad de izquierda a derecha?

Puedes verlo en las siguientes palabras:

Cuando combinamos operadores para formar expresiones, el orden en el que los operadores que se van a aplicar pueden no ser obvios. Por ejemplo, a + b + c puede ser interpretada como ((a + b) + c) o como (a + (b + c)). Decimos que + es izquierda-asociativa si los operandos se agrupan a la izquierda derecho como en ((a + b) + c). Decimos que es correcto-asociativo si agrupa operandos en la dirección opuesta, como en (a +(b + c)).

A. V. Aho & J. D. Ullman 1977, p. 47

La respuesta más simple y más no tl;dr encontré:

En la mayoría de los lenguajes de programación, los operadores de suma, resta, multiplicación y división son asociativos a la izquierda, mientras que los operadores de asignación, condicional y exponenciación son asociativos a la derecha.

Gracias a: http://www.computerhope.com/jargon/a/assooper.htm

a = (x * y) * z es de izquierda a derecha y a = x * (y * z) es de derecha a izquierda.

La multiplicación matricial de Glm asocia de izquierda a derecha porque sobrecarga el operador *. La cuestión aquí es sobre el significado de las multiplicaciones matriciales en términos de transformaciones geométricas, en lugar de la asociatividad matemática.

Un operador infijo (o más generalmente un tipo de expresión que tiene subexpresiones izquierda y derecha no cerradas) es asociativo a la izquierda si en el uso anidado de este operador (tipo de expresión) sin paréntesis explícitos, los paréntesis implícitos se colocan a la izquierda. Dado que * es asociativo a la izquierda en C++, a*b*c significa (a*b)*c. En caso de anidamiento más profundo, se produce un grupo de paréntesis implícitos en el extremo izquierdo: (((a*b)*c)*d)*e.

Equivalentemente esto significa la regla de producción sintáctica para este operador es izquierda-recursiva (lo que significa que la subexpresión izquierda tiene la misma categoría sintáctica para la que esta regla es una producción, de modo que la misma regla (mismo operador) se puede usar directamente para formar esa subexpresión; la subexpresión en el otro extremo tiene una categoría sintáctica más restrictiva, y usar el mismo operador allí requeriría paréntesis explícitos). En C++, una producción para expresión multiplicativa (sección 5.6 en el Estándar) dice expresión-mutliplicativa * pm-expression , con multiplicative-expression a la izquierda.

En consecuencia, en un uso anidado sin paréntesis explícitos, el operador más a la izquierda toma a sus vecinos inmediatos como operandos, mientras que las otras instancias toman como operando izquierdo el (resultado de) la expresión formada por todo a su izquierda.

Lo admito, he estado empujando esto un poco (demasiado lejos). Mi punto en que en ninguna parte de arriba hace la palabra " derecho" la asociatividad es una materia sintáctica y, por lo tanto, estática. Es importante dónde van los paréntesis implícitos, no en qué orden los escribe (de hecho no lo hace en absoluto, o de lo contrario serían explícitos). Por supuesto, para la asociatividad derecha, simplemente reemplace cada "izquierda" por "derecha" arriba.

En conclusión, no puedo ver ninguna razón válida por la que uno deba llamar a esta asociatividad (o agrupación) de izquierda a derecha, pero el hecho es que la gente lo hace (incluso el Estándar lo hace, aunque es perfectamente redundante dado que también se dan reglas de sintaxis explícitas).

La confusión proviene de explicar esto, como se hace a menudo, diciendo que (en ausencia de paréntesis explícitos) los operadores se realizan de izquierda a derecha (respectivamente de derecha a izquierda para operadores asociativos de derecha). Esto es engañoso porque confunde sintaxis con semántica (ejecución), y también solo es válido para operaciones con evaluación bottom-up (todos los operandos son evaluado antes que el operador). Para los operadores con reglas de evaluación especiales es simplemente incorrecto. Para los operadores && (y) y || (o) la semántica es evaluar el operando izquierdo primero, luego el operador mismo (es decir, decidir si el operando izquierdo o el operando derecho producirá el resultado) seguido posiblemente por la evaluación del operando derecho. Esta evaluación de izquierda a derecha es totalmente independiente de la asociatividad: los operadores resultan ser asociativos de izquierda, probablemente debido a que todos los operadores binarios no asignados son, pero (c1 && c2) && c3 (con paréntesis redundantes donde ya estarían implícitamente) tiene una ejecución equivalente a c1 && (c2 && c3) (es decir, ejecutar las condiciones de izquierda a derecha hasta que uno devuelve false y devuelve eso, o si ninguno devuelve true), y no puedo imaginar un compilador razonable generando código diferente para los dos casos. En realidad, encuentro que la agrupación correcta es más sugerente de cómo se evalúa la expresión, pero realmente no hace ninguna diferencia; lo mismo ocurre con or.

Esto es aún más claro para el operador condicional (ternario) ? ... :. Aquí se aplica la asociatividad, porque hay subexpresiones abiertas en ambos lados(cf. mi oración inicial); el operando medio está encerrado entre ? y : y nunca requiere paréntesis adicionales. De hecho, este operador se declara correcto - asociativo, lo que significa que c1 ? x : c2 ? y : z debe leerse como c1 ? x : (c2 ? y : z) en lugar de como (c1 ? x : c2) ? y : z (los paréntesis implícitos son derecho). Sin embargo, con los paréntesis implícitos los dos operadores ternarios se ejecutan de izquierda a derecha; la explicación es que la semántica del operador ternario no evalúa todas las subexpresiones primero.

Volviendo al ejemplo de tu pregunta, la asociatividad de izquierda (o agrupación de izquierda a derecha) significa que tu producto matriz-vector se analiza como ((M1*M2)*M3)*v. Aunque matemáticamente equivalente, es virtualmente imposible que esto se ejecute como M1*(M2*(M3*v)), incluso aunque eso es más eficiente. La razón es que la multiplicación de punto flotante no es verdaderamente asociativa (solo aproximadamente), ni por lo tanto es la multiplicación de matriz de punto flotante; el compilador por lo tanto no puede transformar una expresión en la otra. Tenga en cuenta que en ((M1*M2)*M3)*v no se puede decir cuál de las matrices se aplica primero a un vector, porque ninguna de ellas es: la matriz de los mapas lineales compuestos se calcula primero, y la que matriz se aplica a la matriz vector. El resultado será aproximadamente igual al de M1*(M2*(M3*v)) en el que se aplica M3, luego M2 y finalmente M1. Pero si quieres que las cosas sucedan así, tienes que escribir esos paréntesis.

La asociatividad de izquierda a derecha de un operador significa lado derecho del operador no debe tener ningún operador de mayor precedece( prioridad), pero se puede ser de la misma prioridad. Si hay algún operador de mayor prioridad en el lado derecho de nuestro operador, entonces tenemos que resolverlo primero.ejemplo:

x = 2 + 3 * 3;

Aquí, para el operador + (asociatividad de izquierda a derecha), el lado derecho contiene un operador *, que es de mayor prioridad que + operador, por lo que tenemos para resolverlo primero.

x = 2 + 9;
x = 11;