Media Móvil Exponencial Muestreada en Diferentes Momentos

, echa un vistazo aquí: http://www.eckner.com/research.html

Mira el segundo enlace: ""Algoritmos para Series Temporales Desigualmente Espaciadas: Medias Móviles y Otros Operadores de Rodadura"

El documento describe exactamente los algoritmos de programación que necesita, creo.

Esta no es una respuesta completa, pero puede ser el comienzo de una. Es lo más lejos que llegué con esto en una hora más o menos de jugar; lo estoy publicando como un ejemplo de lo que estoy buscando, y tal vez una inspiración para otros que trabajan en el problema.

I empieza con S₀, cual es el promedio resultante de la media anterior S_-1 y la muestra Y₀ tomado en t₀. (t₁ - t₀) es mi intervalo de muestra y α se establece en lo que sea apropiado para ese intervalo de muestra y el período durante el cual deseo promediar.

Consideré qué sucede si dejo de tomar la muestra en t₁ y en lugar de tener que hacerlo con el ejemplo Y₂ tomado en t₂? Bueno, podemos empezar expandiendo la ecuación para ver qué habría pasado si hubiéramos tenido Y₁:

• S₂ = aY₂ + (1-α)S₁, donde S₁ = aY₁ + (1-α) S ₀

Sustituyendo:

• S₂ = aY₂ + (1-α)(aY₁ + (1-α)S₀)
• S₂ = aY₂ + (1-α)aY₁ + (1-α)(1-α)S₀
• S₂ = aY₂ + (1-α)aY₁ + (1-α)²S₀

Noto que la serie parece extenderse infinitamente de esta manera, porque podemos sustituir la S _n en el lado derecho indefinidamente:

• S₂ = aY₂ + (1-α)aY₁ + (1-α)²(aY₀ + (1-α)S_-1)
• S₂ = aY₂ + (1-α)aY₁ + (1-α)²aY₀ + (1-α)³S_-1
• etc.

Ok, así que no es realmente un polinomio (tonto yo), pero si multiplicamos el término inicial por uno, entonces vemos un patrón:

• S₂ = (1-α)⁰aY₂ + (1-α)aY₁ + (1-α)²aY₀ + (1-α)³S_-1

Hm: es una serie exponencial. Quelle surprise! Imagine que salir de la ecuación para una media móvil exponencial!

, de todos modos, tengo este x⁰ + x¹ + x² + x³ + ... la cosa va, y estoy seguro de que estoy oliendo e o un logaritmo natural pateando por aquí, pero no puedo recordar a dónde me dirigía antes de correr se acabó el tiempo.

Cualquier respuesta a esta pregunta, o cualquier prueba de corrección de dicha respuesta, depende en gran medida de los datos que esté midiendo.

Si sus muestras fueron tomadas en t₀=0ms, t₁=0.9 em y t₂=2.1 ms, pero su elección de α se basa en intervalos de 1-ms, y por lo tanto desea un α_n ajustado localmente , la prueba de corrección de la elección significaría conocer los valores de la muestra en t=1ms y t=2ms .

Esto lleva a la pregunta: ¿Puede interpolar su ¿datos resonables para tener conjeturas sensatas de lo que podrían haber sido los valores intermedios? ¿O puedes incluso interpolar el promedio en sí?

Si ninguno de estos es posible, entonces hasta donde yo lo veo, la elección lógica de un valor intermedio Y (t) es el promedio calculado más recientemente, es decir, Y (t) ≈ S _n donde n es maxmial tal que t _n

Esta elección tiene una consecuencia simple: Deje a α en paz, sin importar cuál fuera la diferencia horaria.

Si, por el otro mano, es posible interpolar sus valores, entonces esto le dará muestras de intervalo constante promedio. Por último, si incluso es posible interpolar el promedio en sí, eso haría que la pregunta careciera de sentido.

Usando un α ligeramente diferente que es igual a (1-α _{el de la pregunta} ), la fórmula básica para agregar un nuevo valor Y a un promedio existente de S₀ se ve así:

S (Y, S₀) =

(1-α)Y + aS₀ =

Y-aY + aS₀ =

Y + α (S₀-Y)

Si ahora sumamos la longitud del intervalo de tiempo t y asumimos que solo α depende de esa t, esa fórmula se ve como esto:

S(Y,t,S₀) = Y + α_t(S₀-Y)

Supongamos Ahora que t = t₁ + t₂. Si el promedio se crea agregando dos valores de Y para intervalos de tiempo t₁ y t₂, el promedio resultante se ve así:

S(Y,t₂, S(Y,t₁,S₀)) =

Y + α_t2(S(Y,t₁,S₀) - Y) =

Y + α_t2((Y + α_t1(S₀-Y)) - Y) =

Y + α_t2α_t1(S₀-Y)

Si este promedio debe ser el mismo que si toda la t intervalo habría sido añadido a la vez, se sigue que α_t = α_t1α_t2. Una definición de α que cumple este requisito sería:

Α _x : = A ^x (para alguna constante A)

Porque:

Α_t = A^t = Un^{t₁ + t₂} = Un^t₁ Un^t₂ = α_t1α_t2

Esto resulta en la siguiente función de promediación:

S(Y,t,S₀) = Y + a^t(S₀-Y)

Realmente no he probado esto, pero si las suposiciones que hice se ajustan a su escenario, esto parece una función de promedio que puede manejar variaciones en los intervalos de muestreo bastante bien.

Digamos que nos gustaría hacer un promedio de decaimiento exponencial en una función continua. Sin embargo, no tenemos todos los valores de esa función, solo unas pocas muestras. Esta fórmula haría un promedio ponderado de las muestras que tenemos con los pesos que tendrían en el promedio continuo.

Multiplicador_n = Alfa^{Tiempo a_n-Tiempo_n-1}

Sum_n = Val_n + Sum_n-1*Multiplier _n

Conteo_n = 1 + Count_n-1*Multiplicador_n

Avg_n = Sum_n/Conde_n

Dejaría el valor alpha solo, y completaría los datos que faltan.

Dado que no sabe lo que sucede durante el tiempo en que no puede muestrear, puede llenar esas muestras con 0s, o mantener estable el valor anterior y usar esos valores para el EMA. O alguna interpolación hacia atrás una vez que tenga una nueva muestra, rellene los valores faltantes y vuelva a calcular el EMA.

Lo que estoy tratando de conseguir es que tienes una entrada x[n] que tiene agujeros. No hay manera de evitar el hecho de que faltan datos. Así que puedes usar una retención de orden cero, o establecerla a cero, o algún tipo de interpolación entre x[n] y x[n+M], donde M es el número de muestras faltantes y n el inicio del espacio. Posiblemente incluso usando valores antes de n.

Esto es similar a un problema abierto en mi lista de tareas pendientes. Tengo un esquema elaborado hasta cierto punto, pero no tengo trabajo matemático para respaldar esta sugerencia todavía.

Update & summary: Quisiera mantener el factor de suavizado (alfa) independiente del factor de compensación (que aquí me refiero como beta). La excelente respuesta de Jason ya aceptada aquí funciona muy bien para mí.

Primer paso.

• Si también puede medir el tiempo desde que se tomó la última muestra (en redondeado múltiplos de su tiempo de muestreo constante, por lo que 7,8 ms desde la última muestra serían 8 unidades), que podrían usarse para aplicar el suavizado varias veces. Aplique la fórmula 8 veces en este caso. Usted ha hecho efectivamente un suavizado sesgado más hacia el valor actual.

Segundo paso.

• Para obtener un mejor suavizado, necesitamos ajustar el alfa mientras aplicamos la fórmula 8 veces en el caso anterior.

¿ Qué hará esta aproximación de suavizado ¿señorita?

• Ya ha perdido 7 muestras en el ejemplo anterior
• Esto se aproximó en el paso 1 con una aplanada reaplicación del valor actual 7 veces
• Si definimos un factor de aproximación beta que se aplicará junto con alfa (como alfa*beta en lugar de solo alfa), asumiremos que las 7 muestras perdidas estaban cambiando suavemente entre los valores de muestra anteriores y actuales.