Ir a la pantalla de inicio programáticamente

Solución de una línea

moveTaskToBack(true); //activity.moveTaskToBack(true);

Se comportará como Botón de inicio se presiona

La respuesta de Janusz es genial.

Lo único que quiero añadir, que es un poco demasiado largo para un comentario, es que puede ir a la pantalla de inicio sin tener una referencia a la actividad actual.

El código de Janusz necesita ser llamado desde una Actividad o Fragmento debido a startActivity(),

Para evitar esto, puede almacenar una referencia estática al contexto de su aplicación en su archivo de aplicación:

public class YourApplication extends Application
{

    private static Context mAppContext;

    public void onCreate()
    {
        super.onCreate();
        ...
        YourApplication.mAppContext = getApplicationContext();
    }

    public static Context getContext()
    {
        return mAppContext;
    }

}

Ahora puede enviar al usuario a la pantalla de inicio del dispositivo desde cualquier clase en su aplicación, no solo Actividades, Fragmentos u otras Clases con una referencia a la Actividad actual (puede decidir si esto es bueno o malo):

Intent startMain = new Intent(Intent.ACTION_MAIN);
startMain.addCategory(Intent.CATEGORY_HOME);
startMain.setFlags(Intent.FLAG_ACTIVITY_NEW_TASK);
YourApplication.getContext().startActivity(startMain);

Desde Desarrollador de Android sitio

Aquí hay algunos ejemplos de otras operaciones que puede especificar como intents usando estos parámetros adicionales:

* ACTION_MAIN with category CATEGORY_HOME -- Launch the home screen.

Sé que esto es un poco tarde, pero también me encontré con el mismo problema y así es como lo resolví. Volviendo a su MainActivity necesita agregar banderas desde la salida Activity

    final Intent mainActivity = new Intent(this, MainActivity.class);
    mainActivity.addFlags(Intent.FLAG_ACTIVITY_CLEAR_TOP);
    mainActivity.addFlags(Intent.FLAG_ACTIVITY_CLEAR_TASK);

Ahora cuando presiona el botón atrás siendo MainActivity el activo, irá a la pantalla de inicio.