Me gustaría obtener lo mejor de ambos mundos usando TypeScript para organizar mi código y luego usar funciones de babels ES6 como asyc/await y otras. Es esto posible.

No fuera de la caja. Lo recomendaría en contra a menos que esté dispuesto a comenzar a hackear el compilador usted mismo. La razón es que ya que TypeScript no entiende async await sin embargo, necesita poner babel antes de TypeScript y luego la salida generada por Babel no será la compilación ideal TypeScript objetivo.

Que dicho TypeScript debería obtener async / await pronto (3 / 4 meses)

Actualizar

Ahora puede usar TypeScript async/await con --target es6 y luego usar babel como un transpiler secundario.

De hecho atom-typescript soporta typescript -> babel -> js fuera de la caja: https://github.com/TypeStrong/atom-typescript/blob/master/docs/faq.md#can-i-use-an-alternate-transpiler