Definiciones de sqrt, sin, cos, pow, etc. en cmath

Esta es una pregunta interesante, pero leer fuentes de bibliotecas eficientes no te llevará muy lejos a menos que conozcas el método utilizado.

Aquí hay algunos consejos para ayudarle a entender los métodos clásicos. Mi información no es exacta. Los siguientes métodos son solo los clásicos, implementaciones particulares pueden usar otros métodos.

• Las tablas de búsqueda se utilizan con frecuencia
• Las funciones trigonométricas a menudo se implementan a través de la Algoritmo CORDIC (ya sea en la CPU o con una biblioteca). Tenga en cuenta que por lo general seno y coseno se calculan juntos, siempre me pregunté por qué la biblioteca C estándar no proporciona una función sincos.
• Las raíces cuadradas usan el método de Newton con algunos trucos de implementación inteligentes: puede encontrar en algún lugar de la web un extracto del código fuente de Quake con una implementación alucinante de 1 / sqrt(x).
• Exponencial y logaritmos utilizan exp (2^n x) = exp (x)^(2^n) y log2 (2^n x) = n + log2 (x) para tener un argumento cercano a cero (a uno para log) y usar aproximación de función racional (normalmente aproximantes de Padé). Tenga en cuenta que este mismo truco exacto puede obtener exponenciales de matriz y logaritmos. Según @ Stephen Canon, las implementaciones modernas favorecen la expansión de Taylor sobre la aproximación de funciones racionales donde la división es mucho más lenta que la multiplicación.
• Las otras funciones se pueden deducir de estas. Implementaciones pueden proporcionar rutina.
• pow (x , y) = exp (y * log(x)), por lo que pow es no para ser utilizado cuando y es un entero
• hypot(x, y) = abs(x) sqrt(1 + (y/x)^2) if x > y (hypot(y, x) otherwise) to avoid overflow. atan2 se calcula con una llamada a sincos y un poco de lógica. Estas funciones son los bloques de construcción para la aritmética compleja.
• Para otras funciones trascendentales (gamma, erf, bessel, ...), por favor consulte el excelente libro Numerical Recipes, 3rd edition para algunas ideas. El good'old Abramowitz & Stegun también es útil. Hay una nueva versión en http://dlmf.nist.gov/.
• Técnicas como la aproximación de Chebyshev, la expansión continua de fracciones (en realidad relacionada con las aproximantes de Padé) o la economización de series de potencias se utilizan en funciones más complejas (si lees el código fuente para erf, bessel o gamma, por ejemplo). Dudo que tengan un uso real en funciones matemáticas simples, pero quién sabe. Consulte Recetas Numéricas para un descripción.