¿De qué se trata JSONP?

Entiendo JSON, pero no JSONP. El documento de Wikipedia sobre JSON es (fue) el principal resultado de búsqueda para JSONP. Dice esto:

JSONP o "JSON with padding" es una extensión JSON en la que se especifica un prefijo como argumento de entrada de la llamada en sí.

¿Eh? ¿Qué llamada? Eso no tiene ningún sentido para mí. JSON es un formato de datos. No hay llamada.

El 2o resultado de la búsqueda es de un tipo llamado Remy , que escribe esto sobre JSONP:

JSONP es una inyección de etiquetas de script, que pasa la respuesta del servidor a una función especificada por el usuario.

Puedo entenderlo, pero todavía no tiene ningún sentido.

Entonces, ¿qué es JSONP? ¿Por qué se creó (qué problema resuelve)? ¿Y por qué lo usaría?

Addendum : Acabo de crear una nueva página para JSONP en Wikipedia; ahora tiene una descripción clara y completa de JSONP, basada en respuesta de jvenema.