Cuantificadores Universales y Existenciales de la Lógica de Primer Orden

El libro de texto Language Proof and Logic proporciona estas expresiones en inglés para los cuantificadores universales y existenciales a los que se refirió el profesor Odersky.

El cuantificador universal {

Se usa para expresar reclamos universales, aquellos que expresamos en inglés usando quantifed frases como todo, cada cosa, todas las cosas, y algo.

El cuantificador existencial ∃

Es se usan para expresar afirmaciones existenciales, aquellas que expresamos en inglés usando frases como algo, al menos una cosa, a , y an.

La mención de estos términos probablemente se relacionó o condujo a operaciones en colecciones utilizando funciones de orden superior. En Scala, la transición de la lógica al código es bastante natural con las operaciones forall y exists en una colección. Estas son análogas a las definiciones universales y existenciales dadas arriba. Algunos ejemplos simples son útiles para mostrar esto:

scala> val l = 1 to 10
l: scala.collection.immutable.Range.Inclusive = Range(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)

scala> l.forall(x => x > 0)
res0: Boolean = true

scala> l.forall(x => x > 1)
res1: Boolean = false

Estas dos declaraciones forall simplemente piden que todos los elementos de esta colección cumplan con los criterios.

scala> l.exists(x => x < 1)
res2: Boolean = false

scala> l.exists(x => x < 2)
res3: Boolean = true

Estas dos declaraciones exists simplemente piden que cualquier elemento de esta colección cumpla con los criterios.

Para apreciar plenamente esa afirmación, probablemente tendría que estudiar alguna lógica. Pero aquí está la esencia básica:

Los"cuantificadores" son la forma de dar significado a variables en declaraciones de lógica. Si digo "{algo sobre x}", eso realmente no tiene mucho significado por sí solo. Tendrías que saber lo que x es decir si es una declaración verdadera o falsa. Pero si yo cuantificar la variable x diciendo: "para todos los x {algo acerca de x}" o "existe una x tal que {algo sobre x}" entonces estoy haciendo una sola declaración que es verdadera o falsa.

En el caso "para todos x" estoy diciendo que "{algo sobre x} " es cierto para cualquier x puedes elegir; eso es cuantificación universal. Por ejemplo "para todos x, x es un número par" es una declaración falsa.

En el "existe un x tal que" caso Estoy diciendo que hay una opción posible para x de modo que "{algo sobre x} " es cierto (no estoy diciendo cuál es esa elección, solo que hay una). Esto es cuantificación existencial. Como ejemplo "existe un x tal que x es un número par" es una declaración verdadera.

Son duales en que "para todos los x {algo acerca de x}" significa lo mismo que "NO es cierto que existe un x tales que NO es cierto que {algo acerca de x}", y también "existe una x tal que {algo acerca de x}" significa lo mismo que "NO es cierto que para todos x no es cierto que {algo sobre x}". Esperemos que parezca intuitivamente justificado si lo piensas.

Si nos dijeras cuáles son las funciones blah y bladdy, podríamos explicar la forma en que corresponden a los cuantificadores universales y existenciales, que podrían ser más útiles para ayudarte a entender el punto del instructor.